Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики в средней школе

Для закрепления следует решить задачу.

В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: х1=50; х2=1; х3=0. Вероятности этих возможных значений равны: р1=0,01; р2= 0,1; р3=1-(0,01+0,1)=0,89.

Напишем исходный закон распределения:

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. Также следует привести пример построения такого многоугольника.

Как мы ранее сказали, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые характеристики этого распределения.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.

Пусть имеется дискретная случайная величина Х, которая может принимать значения x1, x2, …, xn. Вероятности которых соответственно равны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством: .

После определения математического ожидания ученикам может быть непонятно, где оно может пригодиться. На самом деле математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Для введения дисперсии можно привести следующий пример. На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x): D(Х)=M[X-М(Х)]2.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой: дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2.

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратичным отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии .

Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Информация по теме:

Психолингвистические основы словообразования у детей дошкольного возраста
Пристальный интерес к проблеме детского словообразования возник еще на рубеже XVIII - XIX веков. Вплоть до настоящего времени интерес к этой проблеме не угасает, поскольку словообразование, выполняя множество функций, оказывает существенное влияние на развитие языковой компетенции и речевой коммуни ...

Проблема развития памяти в научной литературе
Исследования памяти имеют междисциплинарный характер, так как в различных формах она встречается на всех уровнях жизни и включает не только процессы сохранения индивидуального опыта, но и механизмы передачи наследственной информации. Работы немецкого психолога Г. Эбингауза в конце прошлого века пол ...

Программные требования к сюжетным задачам в 3 классе
Объем изучаемого в 3-м классе по «Программе по математике в 1-4 клас-сах начальной школы» материала для подготовки к решению сюжетных задач: - нумерация и порядок образования целых чисел от 1 до 1000, число 0; - понятие операций сложения и вычитания (слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, результат (с ...