Программа элективного курса по математике

На карточках написаны буквы: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают в том порядке в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово ФИЗКУЛЬТУРА.

Во всероссийском дне бега каждому участнику присваивался определенный четырехзначный номер. И была проведена акция всем тем у кого на номере встречаются два раза цифра 7 получают в подарок кружку. Определите сколько кружек должен приготовить спорткомитет.

Занятие 5

Приведем основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

1.Вероятность достоверного события равна единице: P(E)=1.

2. Вероятность невозможного события равна 0: P(Ø)=0.

3. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Пример: Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь, выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой из дверей он тратит 5 секунд. Найти вероятность того, что он откроет все двери за 15 секунд.

Решение. Пусть событие А – “открыты все двери”. Разобьем это событие на более простые. Пусть В – “открыта 1-я“, С – “ открыта 2-я“, а D – “ открыта 3-я“. Тогда, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). По теореме о вероятности произведения независимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C)Р(D).

Определение. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(В) и обозначается РА(В): .

Пример: Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности получим: .

4. Вероятность произведения зависимых событий равна:

P(AВ)=Р(А)РА(В).

Пример: Изменим задачу: считаем, что преступник – забывчивый человек. Пусть преступник открыв дверь, оставляет ключ в ней. Какова тогда вероятность, что он откроет все двери за 15 сек?

Решение. Событие А – “открыты все двери”. Опять, А=ВСD по определению произведения событий. Следовательно Р(А)=Р(ВСD). Но, теперь события В, C и D – зависимы. По теореме о вероятности произведения зависимых событий Р(ВСD) = Р(В)Р(C|B) Р(D|BC).

Вычислим вероятности : Р(В)=1/3, РВ(С)=1/2 (ключа осталось только два и один из них подходит!), РBC(D)=1/1 и, значит, Р(А)=1/6 .

5. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Р(А1+ А2+…+ Аn)=Р(А1)+ Р(А2)+…+ Р(Аn).

Пример: В урне 5 белых, 20 красных и 10 черных шаров, не отличающихся по размеру. Шары тщательно перемешивают и затем наугад вынимают 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым или черным?

Решение. Пусть событие А – появление белого или черного шара. Разобьем это событие на более простые. Пусть В1 – появление белого шара, а В2 – черного. Тогда, А=В1+В2 по определению суммы событий. Следовательно Р(А)=Р(В1+В2). Так как В1 и В2 – несовместные события, то по теореме о вероятности суммы несовместных событий Р(В1+В2) = Р(В1)+Р(В2).

Информация по теме:

Психолого-педагогические особенности духовно-нравственного развития младших подростков
Личность - это конкретный человек, как носитель сознания. Личностью не рождаются, а становятся в процессе становления человека, в общении и жизнедеятельности. Каждая личность индивидуальна и оригинальна совокупностью своих свойств. На раннем этапе формирования личности уровень субъективно-личностны ...

Технология анализа произведений в их родовой специфике
Теперь, после того как сложилось представление об основных родах литературы, их задачах и особенностях, можно говорить более детально о технологии анализа художественных произведений разных литературных родов. Анализ эпического текста Сюжет является основой эпического текста, он его цементирует. Ра ...

Методы, организация и результаты исследования
Среди различных физических упражнений, способствующих всестороннему физическому развитию, главенствующая роль принадлежит упражнениям легкой атлетики. Различные виды бега, прыжков и метаний входят составной частью в каждый урок физической культуры, а приобретаемые в ходе занятий двигательные качест ...