рис. 2.3
Теперь проведем рассуждения для . Рассмотрим множество из пяти элементов
. Найдем число сочетаний из пяти элементов по два, рассуждая следующим образом: во множестве пять элементов, каждый из которых может быть взят в паре с другими, четырьмя способами (рис. 2.3), но среди получившихся сочетаний встречаются повторяющиеся, каждая пара повторяется еще раз, поэтому получаем формулу:
. Подобные рассуждения проводятся и для сочетаний с другим количеством элементов.
Рассмотрим общий случай, т.е. множество из элементов. Найдем число сочетаний из
элементов по два: во множестве
элементов, каждый из которых может быть взят в паре с другим
способом (рис. 2.4), но среди них есть повторяющиеся, каждая пара повторяется еще раз, поэтому получаем формулу:
.
Проводя рассуждения при выводе общей формулы для числа сочетаний , где k большое число, легко запутаться. Поэтому предлагаем проводить рассуждения для k = 3, 4, 5, 6,7.
Проводя подобные рассуждения для других случаев будем получать следующие формулы:
;
; … … … …;
=
=
=
.
Формулы для ,
,
,– очевидны.
Таким образом, формулы биномиальных коэффициентов найдены. Получаем следующее разложение для формулы :
.
Данное разложение называется формулой бинома Ньютона.
Формулу называют формулой бинома Ньютона, но это название с точки зрения истории неверно. Формулу для
хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэддин и др. Заслуга же Ньютона в том, что ему удалось обобщить формулу на случай нецелых показателей [4].
Таким образом, мы вывели разложение формулы бинома Ньютона, которая является обобщением формул и
; два способа нахождения биномиальных коэффициентов: через треугольник Паскаля и формулу числа сочетаний
.
Информация по теме:
Пример использования педагогической оценки в
воспитании поведения дошкольников
В журнале "Справочник старшего воспитателя" (№2, 2009 г) приводится методическая разработка по использованию педагогической оценки в воспитании поведения дошкольников. Педагоги-воспитатели разработали специальные наглядные пособия, позволяющие детям представить себе идеальный образец дейс ...
Метод минимума и максимума
Довольно часто встречаются задачи, в которых требуется определить наибольшее или наименьшее значение величины из всех возможных. Основы такого метода следуют из принципа Ферми, экстремума энергии. В некоторых задачах удается воспользоваться известными алгебраическими неравенствами (Нер-во Коши). За ...
Психокоррекционные методы и группы ,возможности их использования педагогической
практике
Психокоррекция возникла в рамках специализации психологии и дефектологии. Первый период - описательный, связан с описанием медицинских наук и педагогических вопросов коррекции аномального развития. Э. Сеген предложил комплексный подход к воспитанию умственно отсталых детей и описал оригинальные мет ...