Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики в средней школе

В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (то есть m), к общему числу всех исходов n: .

Данная формула представляет собой определение вероятности по Лапласу, которое пришло из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

После рассмотрения простейших примеров вычисления вероятности учащимся может показаться, что вычисление вероятностей любого события не вызывает особого труда, поэтому учителю нужно предостеречь учащихся от ошибок. Для этого учащимся может быть предложен следующий алгоритм при решении задач на нахождение вероятности.

Перечислить возможные исходы опыта (полное или частичное).

Обосновать равновозможность перечисленных исходов (можно опираться на прямые указания в тексте задачи: случайно, наугад и т.д.).

Вычислить общее количество исходов (то есть число n).

Описать благоприятные исходы для данного события и вычислить их количество.

Вычислить вероятность по формуле.

Оценить полученный результат.

На первых этапах следует предлагать задачи, в которых число исходов опыта можно пересчитать вручную, без использования формул комбинаторики. После получения ответа необходимо обсудить с учащимися его реальный смысл. Выяснить совпадает ли полученная величина с интуитивным представлением учеников о вероятности, удовлетворяет ли основным свойствам.

Для того чтобы определить вероятность нужно знать количество исходов, а также количество благоприятных исходов. Если количество испытаний мало, то можно вручную перебрать все исходы и выявить среди них благоприятные. Что делать в том случае, если количество испытаний велико?

В таком случае на помощь приходит комбинаторика.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает различные комбинации и перестановки предметов. Начинать изучение комбинаторики следует с введения простейших формул. Перед тем как дать ученикам формулу следует поставить какую-либо проблемную задачу, например, перед тем как дать учащимся формулу перестановок можно дать решить следующую задачу.

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

Решая данную задачу систематическим перебором, мы найдем, что количество таких чисел будет равно шести. Далее следует изменить условие задачи, увеличив количество цифр до 10. И сказать, что решать данную задачу перебором нерационально, так как на это уйдет слишком много времени. Для решения задач такого вида используется следующая теорема.

Пусть имеется, k групп элементов, причем каждая группа элементов содержит определенное количество элементов, например, 1-ая содержит n1 элемент, 2-ая группа – n2 элементов, тогда i-я группа содержит ni элементов. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется .

Учитель должен обратить внимание учащихся на то, что правило умножения подсчитывает упорядоченные наборы, то есть порядок в них важен.

Данную формулу можно применить к решению следующей задачи.

Сколько существует пятизначных натуральных чисел.

Решение. Как известно всего 10 цифр. Представим пятизначное число, как, где вместо первой звездочки можно подставить все цифры кроме 0, так как если подставим 0, то получим четырехзначное число (нам надо пятизначное). Вместо второй звездочки можно подставить любую из 10 цифр, аналогично вместо оставшихся можно подставлять любую из 10 цифр. Таким образом, у нас имеется 5 групп элементов, первая группа содержит 9 элементов, а оставшиеся 4 группы содержать по 10 элементов. Тогда, используя формулу, найдем количество пятизначных чисел: .

Информация по теме:

Простой способ повторять материал
Вам будет полезно перечитать раздел из первой части данного пособия «Простой способ повторять материал, начиная с первого дня». Хотя Вы уже далеко ушли от этого первого дня, содержащиеся там предложения и советы становятся все более актуальными по мере приближения экзамена. Помните, что значительну ...

Приемы решения физических задач
Условно структуру деятельности по решению задачи можно представить следующим образом: Решение любой задачи, и не только физической, начинается с анализа условия. Учащийся должен осознать условие, увидеть физическое явление, о котором идет речь в задаче. На этапе поиска решения ученик вспоминает физ ...

Воспитание идея казахских пословиц
В этих же целях широко были использованы жанры устного народного творчества как лирические, исторические песни, сказки, предания, пословицы и поговорки, загадки и скороговорки, ораторские слова и слова благословения и др. Этому свидетельствуют такие пословицы как «Хороший ребенок – опора, плохой ре ...