Методика обучения решению задач на построение сечений многогранников в 10-11 классах

В стереометрии наряду с задачами на доказательство и вычисление решаются задачи на построение, но подход к методике изучения несколько иной, чем в планиметрии.

Задачи на построение в пространстве решаются двумя методами:

1) Задачи на воображаемое построение или задачи на доказательство существования фигур;

2) Задачи на проекционном чертеже.

В процессе решения задач на построение в воображении устанавливается лишь факт существования решения, само же построение искомого элемента не выполняется. По идее метода элементы, определяемые условием задачи, не задаются непосредственно в пространстве, ни на плоском чертеже, а удерживается в воображении. Решение задачи сводится к перечислению такой совокупности геометрических операций, фактическое выполнения которых (в случае если их можно было выполнить) приводит к построению искомого элемента. Задача считается решенной, если удается отыскать рассматриваемую совокупность построений.

При выполнении «воображаемых» построений считаем, что, во-первых, умеем строить плоскость, если заданы определяющие ее элементы (три точки, не лежащие на одной прямой, или прямая и точка вне ее, или две пересекающиеся прямые, или две параллельные прямые), и, во-вторых, в любой плоскости умеем осуществить все те построения, которые обоснованы в планиметрии. Так, если требуется провести через данную прямую а произвольную плоскость, берут произвольную точку А вне прямой а (возможность выбора такой точки также постулируется) и считают, что искомая плоскость проведена через прямую а и точку А.

Проиллюстрируем прием решения задач на построение в воображении на примере решения следующей задачи.

Решение. Допустим, что точка В не лежит в плоскости b. Решение задачи в этом случае свелось бы к перечислению следующей совокупности построений:

1) в плоскости b проводим две пересекающиеся прямые a и b;

2) через прямую а и точку В проводим плоскость g1;

3) в плоскости g1 через точку В проводим прямую a1, параллельную прямой а;

4) через прямую b и точку В проводим плоскость g2;

5) в плоскости g2 через точку В проводим прямую b1, параллельную прямой b;

6) через две пересекающиеся прямые a1 и b1 проводим плоскость b. плоскость b¢– искомая.

Чертеж при решении в воображении задач на построение может не выполняться. В тех же случаях, когда к нему прибегают, он играет вспомогательную роль: чертеж необходим только для облегчения работы воображения, когда пространственное воображение плохо развито или когда построения оказываются громоздкими.

В учебнике такие задачи решаются в разделах параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости в пространстве в 10 классе, и большинство из них даны с решением (чаще всего просто построение, без анализа, доказательства, без исследования).

При решении задач на построение на проекционном чертеже элементы, определяемые условием задачи, задаются на изображении оригинала (точки, линии, плоскости, геометрические тела пространства в любой из материальных реализаций или воображаемые). Для эффективного решения задач на построение используются полные изображения, построение на которых выполняются без какой бы то ни было степени произвола.

Решение «Задачи 1» на проекционном чертеже выполняется следующим образом.

Рис. 1

Решение. Элементы, определяемые условием задачи, задаются на изображении так, как это выполнено на рисунке 1:

В плоскости b(b1) строим АМ (А1М) и AN (А1 N). В соответствии с условиями проекционного чертежа прямые АМ (А1М) и AN (А1 N) служат прямыми, принадлежащими плоскостиb(b1). C помощью линейки и угольника проводим через прямые BN1 (B1N1) и BM1 (B1M1), параллельные прямым АМ (А1М) и AN (А1 N). Такие прямые строятся единственным образом и действительно изображают прямые, параллельные прямым АМ (А1М) и AN (А1 N). Пересекающиеся прямые BN1 (B1N1) и BM1 (B1M1) определяют искомую плоскость b¢.

Рис.2

Обучение решению задач на построение на проекционном чертеже служит активным и гибким средством развития пространственного воображения учащихся.

Практика решения задач на построение на проекционном чертеже облегчает учащимся усвоении стереометрии. Развивает навыки в построении изображений, облегчает понимание курса черчения.

Однако до настоящего времени не закончена разработка методики изучения этого материала в школе. Требует уточнения объем материала, подлежащего изучению. Не определено и место изучения этих задач в школе.

Как показал опыт преподавания, обучение решению задач на построение лучше начинать с обучения решению задач на проекционном чертеже, так как понимание этих задач не требует хорошо развитого пространственного воображения учащихся. Более того, в процессе решения этих задач пространственное воображение настолько развивается. Что с определенного момента учащимся становится посильно освоение задач на построение, решаемых в воображении. В этом случае учащиеся после знакомства с новым методом на примере решения одной- двух задач остальные решают самостоятельно.

Чтобы получить проекционный чертеж, позволяющий конструктивно определить общие элементы изображенных прямых и плоскостей, т. е. решить на изображении так называемые позиционные задачи, достаточно задать, кроме изображения точек, прямых, плоскостей и вообще пространственных фигур на плоскости чертежа, изображения их проекций на некоторую плоскость, называемую основной.

Такой проекционный чертеж получается в результате двойного проектирования: точки А, В, С, D пространства проектируются на основную плоскость а, затем вместе с этой плоскостью, со своими проекциями на ней А', В', О, D' и проектирующими прямыми (АА\ ВВ', СО, DD') проектируются на плоскость чертежа (рис. 3, б).

Рис.3

Обучение решению задач на построение на проекционном чертеже строится так, чтобы учащиеся знакомились с этими задачами в порядке возрастающей трудности, и так, чтобы ранее решаемые задачи в основном подготавливали учащихся к пониманию решения последующих задач. Последнее достигается тем, что в работе рассматриваются следующие типы задач:

задачи, решаемые при введении проекционного чертежа;

задачи- упражнения по текущему материалу;

задачи на построение точек и линий пересечения прямых и плоскостей;

программные задачи на построении;

задачи на построение сечений.

Задачи на проекционном чертеже

Под решением задач на проекционном чертеже понимают решение позиционных и метрических задач на полном изображении.

Введением понятия о проекционном чертеже удобно выполняется в нижеприведенной последовательности. Наиболее подходящим моментом для проведения такой работы являются уроки, непосредственно следующие за уроками, на которых доказывалась первая теорема существования и на которых учащиеся познакомились с методами построения изображений планиметрических оригиналов.

В классе устанавливается, что на чертеже точка плоскости служит изображением не только точки оригинала, но и прямой (проектирующей). Прямая плоскости может изображать не только прямую, но и плоскость (проектирующую). Параллельные прямые плоскости изображают не только параллельные прямые оригинала, но и скрещивающиеся прямые, лежащие в параллельных проектирующих плоскостях, равно как и сами эти плоскости. Четыре точки плоскости изображений представляют, например, изображение как четырех точек одной плоскости оригинала, так и четырех точек не лежащих в одной плоскости. Внимание учащихся обращается и на тот факт, что по чертежу невозможно составить представление об относительном взаимном расположении изображенных на плоскости точки и прямой, точки и плоскости, прямой и плоскости и т.п. невозможно судить о принадлежности точек к прямым и плоскостям, прямых к плоскостям.

С неопределенностью рассматриваемых изображений можно знакомить учащихся сразу после введения понятия об изображении.

Перед введением проекционного чертежа все эти факты следует обобщить.

В качестве цели учащимся указывается на необходимость отыскания такого способа построения изображений пространственных фигур, при котором только по изображению можно было бы с безусловной необходимостью судить о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей пространства. Прием построения изображений должен быть таким, чтобы только по изображению позволял бы определить, параллельны или непараллельны прямые оригинала, скрещиваются они или пересекаются, принадлежит точка прямой или плоскости, прямая- плоскости.

Далее учащимся сообщается, что сформулированных целей можно достигнуть, если изображения пространственных фигур, как и изображения плоских оригиналов, строить по базису с привлечением свойств изображения.

Сначала вводим понятие о базисе в оригинале и на изображении и показываем, что для построения изображения достаточно эффективно спроектировать лишь базисные точки оригинала. Далее раскрываем содержание второй теоремы существования.

К понятию проекционного чертежа можно прийти, если получить изображение одной из моделей обозначения точек в пространстве по базису и с привлечением свойств изображений.

Рассмотрим возможности осуществления этого пути на примере моделей обозначения точек с помощью основной плоскости.

Фиксировав базисные точки, строим моделей обозначения точек изображение точки. Показываем, что на таком чертеже может быть построено, и единственным образом, изображение любой наперед заданной точки оригинала.

Обосновывается и обратное утверждение, что в случае если изображение точки будет представлено вместе с основанием проектирующего отрезка на основной плоскости, то при фиксированном базисе изображение определяет единственную точку.

Как результат проведенных построений дается определение заданной точки: «Точка называется заданной на изображении, если при фиксированных базисах она является изображением единственной точки оригинала».

На построенном нами изображении заданными окажутся не только те точки, изображение которых предварительно было построено по оригиналу, но и те точки, для которых одна из точек плоскости принята за изображение собственно точки оригинала, а другая – за изображение ее основания.

Полученный таким образом проекционный чертеж представляет метрически определенное изображение.

Прямые плоскости оказываются заданными на изображении в том же смысле, что и точка.

Введение проекционного чертежа и решение задач на построение на нем не должно рассматриваться как два отдельных этапа обучения.

Одной из трудностей обучения решению задач на построение на проекционном чертеже является отсутствие в существующей учебной литературе достаточного числа четко выделенных простейших задач, овладение которыми обеспечивало бы понимание учащимися приемов решения более сложных задач. Кроме того, в методике не определилось еще число достаточно принципов, которыми можно было бы руководствоваться при отыскании решения задач.

Достижением осознанного понимания изучаемого материала при любой структуре обучения станет возможным, если решение задач не будет ограничиваться только механическим выполнением построений. От учащихся необходимо требовать устных пояснений по ходу выполняемых построений, аргументированного обоснования их. Следует также добиваться, чтобы и построения, проводимые в контрольных работах, сопровождались письменными объяснениями.

• Задачи, решаемые при введении проекционного чертежа
• Пересечения двух произвольно заданных плоскостей
• Пересечения треугольника ABC с прямой DE
• Решение задач на построение сечений

Информация по теме:

Научно-теоретические основы констатирующего и формирующего экспериментов
Эксперимент означает пробу, опыт. Это один из основных методов научного познания вообще, психологического исследования в частности. Например, от наблюдения эксперимент отличается активным вмешательством в ситуацию со стороны исследователя, осуществляющего планомерное манипулирование одной или неско ...

Особенности отношения к семье как биосоциальной структуре общества детей младшего дошкольного возраста
Экспериментальное исследование проходило на базе детского сада №40 «Алёнушка» в течение 6 месяцев с 20.08.2007 г. по 6.02.2008 г. Для исследования были взяты дети второй младшей группы в количестве 26 человек. Психолого-педагогический эксперимент проходил в 3 этапа: - констатирующий эксперимент (20 ...

Поощрение и наказание как средство педагогической коррекции нарушений поведения младших школьников
Анализ основных видов и форм педагогического требования показывает, что и положительная группа форм косвенного требования (просьба, доверие, одобрение), и отрицательная (угроза, выражение недоверия, осуждение) используются на каждом шагу, в таких ситуациях, когда не возникает никакой необходимости ...