Математические основы изучения табличного умножения и соответствующих случаев деления

Умножение - арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями.

Умножение чисел однозначно и обладает следующими свойствами:

1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон);

2) a (bc) = (ab) c (ассоциативность, сочетательный закон);

3) a (b + c) = ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ×0 = 0; a×1 = а.

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями. Если любое натуральное число а умножить на 1, то получится а, т.е. имеет место равенство а х 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 7 х 5 = 35, то для нахождения произведения 7 х 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 х 6 = 7 х (5+1) = 7 х 5 + 7. Таким образом, произведение а х b΄ можно найти, если известно произведение а х b: а х b΄ = а х b + а.

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел.

Деление при аксиоматическом построении теории натуральных чисел обычно определяется как операция, обратная умножению. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а : b = с тогда и только тогда, когда b х с = а. Число а : b называется частным чисел а и b, число а – делимым, число b – делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.

В начальном обучении математике определение деления как операции, обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 – это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16 х 3 = 48. следовательно, 48 : 16 = 3».

Информация по теме:

Общая характеристика пространственного мышления
Пространственное мышление - вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения практических и теоретических задач. Это сложный процесс, куда включаются не только логические (словесно-понятийные) операции, но и множество перцептивных д ...

Методы решения физических задач
Метод - это способ познания, исследования явлений. В широком смысле "метод - это способ действия, осуществление определенно деятельности, достижения какого-либо результата, решения задачи. Существует много различных методов решения задач по физики, в данном параграфе будут рассмотрены некоторы ...

Математические основы изучения табличного умножения и соответствующих случаев деления
Умножение - арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab ...