Математические основы изучения табличного умножения и соответствующих случаев деления

Умножение - арифметическое действие. Обозначается точкой "." или знаком "х" (в буквенном исчислении знаки умножения опускаются). Умножение целых положительных чисел (натуральных чисел) есть действие, позволяющее по двум числам а (множимому) и b (множителю) найти третье число ab (произведение), равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а; а и b называются также сомножителями.

Умножение чисел однозначно и обладает следующими свойствами:

1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон);

2) a (bc) = (ab) c (ассоциативность, сочетательный закон);

3) a (b + c) = ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ×0 = 0; a×1 = а.

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями. Если любое натуральное число а умножить на 1, то получится а, т.е. имеет место равенство а х 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 7 х 5 = 35, то для нахождения произведения 7 х 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 х 6 = 7 х (5+1) = 7 х 5 + 7. Таким образом, произведение а х b΄ можно найти, если известно произведение а х b: а х b΄ = а х b + а.

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел.

Деление при аксиоматическом построении теории натуральных чисел обычно определяется как операция, обратная умножению. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а : b = с тогда и только тогда, когда b х с = а. Число а : b называется частным чисел а и b, число а – делимым, число b – делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.

В начальном обучении математике определение деления как операции, обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 – это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16 х 3 = 48. следовательно, 48 : 16 = 3».

Информация по теме:

Связь музыки и литературного слова в сказках, мультфильмах, кинофильмах
Еще одна сказка, (авторская) которая не могла бы появиться без музыки. Фрагмент из сказки «Музыкальные игрушки» В. Ф. Одоевского, где главное действующее лицо – музыкальный инструмент «табакерка» и маленький мальчик, которого заинтересовал этот чудо – инструмент, его звучание, внешний вид. Краткое ...

Проблема формирования речевых умений детей 2 — 3 летнего возраста и ее взаимосвязь с развитием мелкой моторики в психолого — педагогической литературе
Речь – это средство воздействия на сознание, выработки мировоззрения, норм поведения, формирования вкусов, удовлетворения потребностей в общении. Человек, будучи по своей природе существом социальным, не может жить вне связи с другими людьми: он должен делиться переживаниями, сопереживать, искать п ...

Спорт
Отдельное внимание в Оксфорде уделяется спорту. Здесь, как ни в каком другом месте, исповедуется принцип «в здоровом теле – здоровый дух». Наверное, нет такого вида спорта, которым нельзя бы было заниматься в университете Оксфорда – как на любительском, так и на полупрофессиональном уровне. В каждо ...